Средние

Средние — описание в Энциклопедическом словаре

Средние — см. Арифметическое среднее, Гармоническое среднее,Геометрическое среднее, Квадратичное среднее.

Значение слова «Средние» по БСЭ

Средние — средние значения, числовая характеристика группы чисел или функций.
1) Средним для данной группы чисел x1, x2,….. xn называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными С. являются: арифметическое среднее


a =x1+x2+…+xn
n
&emsp.,

геометрическое среднее

g =n
 
&radic.
x1·x2· … ·xn
&emsp.,

гармоническое среднее

h =
&emsp.
n
,
&emsp.
1
x1
+1
x2
+…+1
xn

квадратичное среднее

&radic.
q =x1І+x2І+…+xnІ
n
&emsp..

Если все числа xi (i = l,2,…, n) положительны, то можно для любого &alpha. &ne. 0 определить степенное С.

&emsp.s&alpha. =(x1&alpha.+x2&alpha.+ … +xn&alpha.
n
)1
&alpha.
 
&emsp.,

частными случаями которого являются арифметическое, гармоническое и квадратичное С., именно: s&alpha. равняется a, h и q соответственно при &alpha. = 1, &minus.1 и 2.
При &alpha. &rarr. 0 степенное С, s&alpha. стремится к геометрическому С., так что можно считать s0 = g. Важную роль играет неравенство s&alpha. &le. s&beta., если &alpha. &le. &beta., в частности
h &le. g &le. a &le. q.
Арифметическое и квадратичное С. находят многочисленные применения в теории вероятностей, математической статистике, при вычислении по методу наименьших квадратов и др. Указанные выше С. могут быть получены из формулы

 s = &fnof.&minus.1[1
n
n
&sum.
k=1
&fnof.(xk) 
]&emsp.,

где &fnof.&minus.1(&eta.) — функция, обратная к &fnof.(&xi.) (см. Обратная функция), при соответствующем подборе функции &fnof.(&xi.). Так, арифметическое С. получается, если &fnof.(&xi.) = &xi., геометрическое С. — если &fnof.(&xi.) = log &xi., гармоническое С. — если &fnof.(&xi.) = 1/&xi., квадратичное С. — если &fnof.(&xi.) = &xi.І.
Наряду со степенными С. рассматривают взвешенные степенные С.

&emsp.s&alpha. =(p1x1&alpha.+p2x2&alpha.+ … +pnxn&alpha.
p1+p2+ …+pn
)1
&alpha.
 
&emsp.,

в частности при &alpha. = 1,

&emsp.A  = p1x1+p2x2+ … +pnxn
p1+p2+ …+pn
&emsp.,

которые переходят в обыкновенные степенные С. при р1 = р2 =… = pn. Взвешенные С. особенно важны при математической обработке результатов наблюдений (см. Наблюдений обработка), когда различные наблюдения производятся с разной точностью (с разным весом).
2) Арифметико-геометрическое среднее. Для пары положительных чисел a и b составляются арифметическое С. a1 и геометрическое С. g1. Затем для пары a1, g1 снова находятся арифметическое С. a2 и геометрическое С. g2 и т.д. Общий предел последовательностей an и gb, существование которого было доказано К. Гауссом, называется арифметико-геометрическим С. чисел a и b. он важен в теории эллиптических функций.
3) Средним значением функции называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С. в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если &fnof.(x) непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале (а, b), то существует точка c, принадлежащая интервалу (а, b), такая, что &fnof.(b) &minus. &fnof.(a) = (b&minus.a) &fnof.&rsquo.(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С. является следующая: если &fnof.(x) непрерывна на отрезке [а, b], а &phi.(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка c из интервала (а, b) такая, что

b
&int.
a
&fnof.(x)&phi.(x)dx = &fnof.(c)
b
&int.
a
&phi.(x)dx
&emsp..

В частности, если &phi.(x) = 1, то

b
&int.
a
&fnof.(x)&phi.(x)dx = &fnof.(c)
(b&minus.a)
&emsp..

Вследствие этого под средним значением функции &fnof.(x) на отрезке [а, b] обычно понимают величину

ƒ&#x305. =1
b&minus.a
b
&int.
a
&fnof.(x)dx.

Аналогично определяют среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.

РубрикиС