Компактность

Определение слова Компактность по Ефремовой

Компактность — Отвлеч. сущ. по знач. прил.: компактный.

Определение слова Компактность по словарю Ушакова

КОМПАКТНОСТЬ
компактности, мн. нет, ж. (книжн.). Отвлеч. сущ. к компактный. Компактность какой-нибудь массы.

Значение слова «Компактность» по БСЭ

Компактность (математическое)
важное свойство множеств. множество называется компактным, если каждая бесконечная последовательность его элементов (точек) имеет хотя бы одну предельную точку. От К. по отношению к объемлющему пространству отличают К. в себе: множество (лежащее в определенном топологическом пространстве или являющееся само топологическим пространством) компактно в себе, если каждая бесконечная последовательность его элементов имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую тому же множеству.
В математическом анализе большое значение имеет принцип Вейерштрасса, утверждающий, что каждое ограниченное множество действительных чисел — компактно. Компактные множества функций играют фундаментальную роль в теории функций и функциональном анализе. Для того чтобы множество Е непрерывных (например, на сегменте [0,1] числовой прямой) функций было компактно (в пространстве С всех непрерывных на [0,1] функций), необходимо и достаточно, чтобы функции множества Е были ограничены в своей совокупности (одной и той же постоянной) и равностепенно непрерывны (см. Равностепенная непрерывность).
Компактное Метрическое пространство называется компактом. Среди множеств, лежащих в евклидовых пространствах E n произвольного числа измерений, компактны в E n все ограниченные множества и только они. компактами (то есть компактными в себе множествами) среди них будут лишь замкнутые (и ограниченные) множества. В гильбертовом пространстве ограниченность недостаточна для компактности: сфера в гильбертовом пространстве некомпактна, хотя образует замкнутое и ограниченное множество. Компактом является так называемый фундаментальный параллелепипед гильбертова пространства, то есть множество всех точек этого пространства, координаты которых удовлетворяют условиям 0 &le. xn&le. Ѕn.
Все компакты (и среди всех топологических пространств только компакты) гомеоморфны (см. Гомеоморфизм) замкнутым множествам фундаментального параллелепипеда гильбертова пространства (теорема Урысона). Компакты конечной размерности и только они гомеоморфны замкнутым ограниченным множествам евклидовых пространств.
Для метрических пространств, а также для топологических пространств со счётной базой свойство К. (в себе) эквивалентно свойству бикомпактности.
Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. -Л., 1948. Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. — Л., 1937.

РубрикиК